Grade 9 · Divisibility and prime numbersCitește în română

Euler's totient function

Original: Indicatorul lui Euler

O(√n)C++1745 lines2 examples

The idea

φ(n) is the number of values in 1..n that are coprime with n. If p1, p2, ... are the prime divisors of n, then φ(n) = n · (1 - 1/p1) · (1 - 1/p2) · ... For every prime factor p found during factorization we do rez = rez / p * (p - 1), so that we only work with integers.

Original description (Romanian)

φ(n) este numărul valorilor din 1..n prime cu n. Dacă p1, p2, ... sunt divizorii primi ai lui n, atunci φ(n) = n · (1 - 1/p1) · (1 - 1/p2) · ... Pentru fiecare factor prim p găsit la descompunere facem rez = rez / p * (p - 1), ca să lucrăm doar cu numere întregi.

Complexity
O(√n)
Grade
Grade 9 (Clasa a IX-a)

Examples

Example 1

Input

12

Expected output

4
Example 2

Input

13

Expected output

12

The code

Comments are in Romanian, as in the original collection. Edit freely: you can reset at any time.

indicatorul-lui-euler.cpp
/*
 * Titlu: Indicatorul lui Euler
 * Clasa: 9
 * Capitol: Divizibilitate și numere prime
 * Descriere: φ(n) este numărul valorilor din 1..n prime cu n. Dacă p1, p2, ...
 *            sunt divizorii primi ai lui n, atunci φ(n) = n · (1 - 1/p1) · (1 - 1/p2) · ...
 *            Pentru fiecare factor prim p găsit la descompunere facem
 *            rez = rez / p * (p - 1), ca să lucrăm doar cu numere întregi.
 * Complexitate: O(√n)
 *
 * Exemplu
 * Intrare: 12
 * Ieșire: 4
 *
 * Exemplu
 * Intrare: 13
 * Ieșire: 12
 */
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    long long n, rez;
    cin >> n;
    rez = n;
    for (long long p = 2; p * p <= n; p++)
    {
        if (n % p == 0)
        {
            rez = rez / p * (p - 1);
            while (n % p == 0)
            {
                n = n / p;
            }
        }
    }
    if (n > 1)
    {
        rez = rez / n * (n - 1);
    }
    cout << rez << '\n';
    return 0;
}

Runs on a real g++ (C++17, -O2) through Compiler Explorer. Keep runs short; there's a time limit.